Question

7．已知邊長為2的正三角形ABC，P，M滿足|AP|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則$\overrightarrow{BM}$²的最小值是（　�。�

• A． $\frac{9-2\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{11-3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{13-4\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{15-5\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 畫出圖形，建立坐標系，求出P的軌跡方程，由中點坐標公式和代入法求得M的軌跡方程，然后利用圓的性質(zhì)|$\overrightarrow{BM}$²的最小值．

解答 解：由題△ABC為邊長為2的正三角形，
如圖建立平面坐標系，
可得A（0，$\sqrt{3}$），B（-1，0），C（1，0），
由|$\overrightarrow{AP}$|=1得點P的軌跡方程為x²+（y-$\sqrt{3}$）²=1，
設(shè)M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，得M為線段PC的中點，
則P（2x₀-1，2y₀），
代入①式得M的軌跡方程為（2x₀-1）²+（2y₀-$\sqrt{3}$）²=1，
即為（（x₀-$\frac{1}{2}$）²+（y₀-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
記圓心為N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半徑r=$\frac{1}{2}$，
|$\overrightarrow{BM}$|_min=|$\overrightarrow{BN}$|-r=$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，
則$\overrightarrow{BM}$²的最小值是$\frac{13-4\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查向量平方的最小值的求法，圓方程的運用，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．