Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，0＜x≤1}\\{-{x}^{2}-2x+1，-3≤x≤0}\end{array}\right.$的值域為[-2，2]則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [0，+∞]
• B． [0，3]
• C． [-3.0]
• D． （-3，0）

Answer 1

分析 根據指數函數的單調性及二次函數值域的求法，求出每段上f（x）的范圍：1+a＜f（x）≤2+a，或-2≤f（x）≤2，從而得到a滿足$\left\{\begin{array}{l}{1+a≥-2}\\{2+a≤2}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出實數a的取值范圍．

解答 解：①0＜x≤1時，f（x）=2^x+a；
∴f（x）在（0，1]上單調遞增；
∴f（0）＜f（x）≤f（1）；
即1+a＜f（x）≤2+a；
②-3≤x≤0時，f（x）=-x²-2x+1=-（x+1）²+2≤2；
又f（-3）=-2，f（0）=1；
∴此時-2≤f（x）≤2；
又f（x）的值域為[-2，2]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥-2}\\{2+a≤2}\end{array}\right.$；
∴-3≤a≤0；
∴實數a的取值范圍為[-3，0]．
故選：C．

點評 考查函數值域的概念，分段函數值域的求法，指數函數的單調性，以及二次函數值域的求法，要熟悉二次函數的圖象．