Question

17．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）在x=e處的切線在y軸上的截距為2-e．
（1）求a的值；
（2）函數(shù)f（x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值，若不能說明理由．
（3）當1＜x＜2時，試比較$\frac{2}{x-1}$與 $\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，運用兩點的斜率公式，計算化簡即可得到a=2；
（2）函數(shù)f （x）不能在x=1處取得極值，求出導數(shù)，討論x＞1，0＜x＜1函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；
（3）當1＜x＜2時，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$，運用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a．
依題設，得 $\frac{f（e）-（2-e）}{e-0}$=f′（e），即
e+1-a（e-1）-（2-e）=e（1+$\frac{1}{e}$+1-a），解得a=2．
（2）不能．
因為f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，記g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，則g′（x）=$\frac{x-1}{x2}$．
①當x＞1時，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，
所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；
②當0＜x＜1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是減函數(shù)，
所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0．
由①、②得f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）不能在x=1處取得極值．
（3）當1＜x＜2時，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．證明如下：
當1＜x＜2時，由（2）得f（x）在（1，2）為增函數(shù)，所以f（x）＞f（1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1），
所以 $\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$       ①
當0＜x＜1時，由（2）得f（x）在（0，1）為增函數(shù)，所以f（x）＜f（1）=0．
即（x+1）lnx＜2（x-1），
所以$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{x+1}{2（x-1）}$．      ②
當1＜x＜2時，0＜2-x＜1，由②得$\frac{1}{ln（2-x）}$＞$\frac{3-x}{2（1-x）}$，即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$    ③
①+③得$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{2}{x-1}$．得證．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和極值，同時考查不等式的大小比較，注意運用單調(diào)性和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．