Question

11．|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由題意求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$及$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$，然后代入數(shù)量積求夾角公式得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°$=4+2×$2×1×\frac{1}{2}$=6，
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°+4|\overrightarrow{|}^{2}}$
=$\sqrt{4+4×2×1×\frac{1}{2}+4}$=$2\sqrt{3}$．
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|}$=$\frac{6}{2×2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角公式，是中檔題．