Question

6．由曲線y=$\sqrt{x}$+1和直線x-2y+2=0所圍成圖形的面積為a，則二項(xiàng)式（x²-$\frac{2}{x}$）^3a的展開(kāi)式中含x^-1的項(xiàng)的系數(shù)為（　�。�

• A． 32
• B． -32
• C． 48
• D． -48

Answer 1

分析 先利用定積分的意義求得a的值，再求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0-1，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的含x^-1的項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}+1}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$ 求得x=0或 x=4，曲線y=$\sqrt{x}$+1和直線x-2y+2=0所圍成圖形的面積，
為a=${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{x}$+1-$\frac{1}{2}$x-1）dx=（$\frac{2}{3}$•${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{4}$•x²）${|}_{0}^{4}$=$\frac{2}{3}$•$\sqrt{64}$-4=$\frac{4}{3}$，
二項(xiàng)式（x²-$\frac{2}{x}$）^3a =（x²-$\frac{2}{x}$）⁴的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${C}_{4}^{r}$•（-2）^r•x^8-3r，令8-3r=-1，求得r=3，
故展開(kāi)式中含x^-1的項(xiàng)的系數(shù)為-${C}_{4}^{3}$•8=-32，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查定積分的意義，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．