Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當函數僅有極小值時，不等實數滿足.證明：.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求出函數的導函數，對參數進行分類討論，判斷對應情況下導數的符號，即可求得單調性；

（2）根據（1）中所求，可知，構造函數，通過求解的單調性，利用，即可證明.

（1），

當時，，由得，由得；

當時，，

由得或，由得；

當時，，

由得或，由得；

當時，恒成立，

綜上得：

當時，函數在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，

在，上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，

在，上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增.

（2）由（1）可知時，函數僅有極小值.不妨設，

要使，則，.

令，

則，

當時，，∴函數在上單調遞增，

∴當時，，即，

∴，

∵，∴，

∵，，函數在區(qū)間上單調遞減，

∴，即，

∴.即證.