Question

已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；
（Ⅲ）設(shè)，求在區(qū)間上的最小值.（為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

(Ⅰ)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；(Ⅱ)；
（Ⅲ）當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，的最小值=；當(dāng)時，最小值為.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)給定的切線方程得到切點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到參數(shù)的值；
（Ⅲ）對于函數(shù)的最值問題，根據(jù)給定的函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的符號判定單調(diào)性，和定義域結(jié)合得到最值.
試題解析：（Ⅰ），（），                        2分
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.
所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是. 4分
(Ⅱ）設(shè)切點坐標(biāo)為，則          6分（1個方程1分）
解得，.                                  7分
（Ⅲ），
則，                                  8分
解，得，
所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，
在區(qū)間上，為遞增函數(shù).                     9分
當(dāng)，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，
所以最小值為.                       10分
當(dāng)，即時，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，
所以最小值為.               11分
當(dāng)，即時，最小值
=.
綜上所述，當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，的最小值=；當(dāng)時，最小值為.    12分
考點：1.用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值；2.求曲線在某點的切線方程