Question

某商廈欲在春節(jié)期間對某新上市商品開展促銷活動，經(jīng)測算該商品的銷售量s萬件與促銷費用x萬元滿足s=4-

3

x+2

．已知s萬件該商品的進價成本為20+3s萬元，商品的銷售價格定為5+

30

s

元/件．
（1）將該商品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費用投入多少萬元時，商家的利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．

解答： 解：（1）由題意知，y=（5+

30

s

）s-x-（20+3s）=2s+10-x
將s=4-

3

x+2

代入化簡得：y=18-

6

x+2

-x；
（2）y=18-

6

x+2

-x=20-[

6

x+2

+（x+2]
∵

6

x+2

+（x+2）≥2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)

6

x+2

=x+2，即x=

6

-2時，取等號，
∴x=

6

-2時，商家的利潤最大，最大利潤為22-

6

．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．