Question

18．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，體積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球體積為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫出圖形，再設(shè)三棱柱外接球的球半徑為r，利用在直角三角形ADO中的邊的關(guān)系求出球半徑，最后利用球的體積公式即可求出這個三棱柱的外接球的體積．

解答 解：設(shè)三棱柱外接球的球心為O，球半徑為r，
三棱柱的底面三角形ABC的中心為D，如圖，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，體積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}×3×A{A}_{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AA₁=2，∴OD=1
又在正三角形ABC中，AB=$\sqrt{3}$，則AD=1，
∴在直角三角形ADO中，OA²=OD²+AD²有r²=1²+1²，
∴r=$\sqrt{2}$，
則這個三棱柱的外接球的體積為V=$\frac{4π}{3}$×r³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故答案為：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的外接球的體積的應(yīng)用，三棱柱體積的求法，考查計算能力．