Question

【題目】已知函數(shù).

(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)，求在上的最大值；

(3)試證明：對(duì)任意的，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可；（3）根據(jù)（1）知當(dāng)時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值即可證明.

（1）函數(shù)的定義域是.由已知.

令,得.

因?yàn)楫?dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

（2）由1問(wèn)可知當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,

所以.

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以.

當(dāng),即時(shí),.

綜上所述,

（3）由（1）問(wèn)知當(dāng)時(shí).

所以在時(shí)恒有,

即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

因此對(duì)任意恒有.

因?yàn)?/span>,,所以,即.

因此對(duì)任意,不等式.