Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)數(shù)列{b_n}，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和裂項(xiàng)，可得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂項(xiàng)相消求和即可得到．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，有a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題數(shù)列的通項(xiàng)和求和，注意運(yùn)用它們的關(guān)系式，同時(shí)考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．