Question

【題目】如圖，平面四邊形中，,,,，將三角形沿翻折到三角形的位置，平面平面，為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）由題意為等邊三角形，可以證明及，由平面平面，可知平面，從而，進(jìn)而可以得到平面，即可證明；(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出和平面的法向量，由可以得到答案。

（Ⅰ）由題意為等邊三角形，則，

在三角形中，,，由余弦定理可求得，

，即

又平面平面，平面平面，平面

平面

等邊三角形中，為中點(diǎn)，則，且

平面，

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

設(shè)是平面的法向量，則，

取

所以直線與平面所成角的正弦值為.