Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

(1)當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

(2)若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，；（2）.

【解析】

（1）由得，對其求導(dǎo)，得到，解對應(yīng)不等式，求出單調(diào)區(qū)間，進而可求出最值；

（2）先由得到函數(shù)不可能在上單調(diào)遞增，由題意，得到在上單調(diào)遞減，推出恒成立；令，用導(dǎo)數(shù)的方研究其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.

(1)當時，，所以.

由解得，由解得.

故函數(shù)在區(qū)間上單減，在區(qū)間上單增.

,

，；

(2) 因為，所以函數(shù)不可能在上單調(diào)遞增.

所以，若函數(shù)為上單調(diào)函數(shù)，則必是單調(diào)遞減函數(shù)，即恒成立.

由可得，

故恒成立的必要條件為.

令，則.

當時，由，可得，

由可得，

在.上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

故

令，下證:當時，.

即證，令，其中，則，

則原式等價于證明:當時，.

由(1)的結(jié)論知，顯然成立.

綜上，當時，函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)遞減.