Question

【題目】中心在原點(diǎn)的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且橢圓E與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線l（直線的斜率k存在且不為0）交E于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，直線BD交x軸于點(diǎn)Q.試探究是否為定值？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值4，理由詳見解析.

【解析】

（1）橢圓E的右焦點(diǎn)為，得到，計(jì)算，得到答案.

（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到，計(jì)算，得到答案.

（1）因?yàn)闄E圓E的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

所以橢圓E的右焦點(diǎn)為，所以.

又橢圓E與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線l的方程為，，則點(diǎn)，設(shè)

則點(diǎn)，聯(lián)立直線l與橢圓E的方程有，

得，所以有，即

且，即直線BD的方程為

令\，得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，

代入得：，

所以，所以為定值4.