Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓在左、右頂點(diǎn)分別為、，左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)（和均不在坐標(biāo)軸上），直線、分別與軸交于點(diǎn)、，直線、分別與軸交于點(diǎn)、，求證：為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定值.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由離心率及過(guò)的點(diǎn)和、、之間的關(guān)系求出橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)，，求出兩根之和及兩根之積，寫(xiě)出、的方程由題意求出、的坐標(biāo)，求出的值，同理由題意求出的值，進(jìn)而求出比值為定值．

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，，解得，，

所以，橢圓的方程為；

（2）由（1）知，，，

由題意，直線不與軸垂直，且不過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)，

故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，.

由，消去，整理得.

，由韋達(dá)定理，，.

直線的方程為，.

同理，.

所以，，

直線的方程為，.

同理，.

所以，，

由題意，，故.