Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2．|$\overrightarrow{c}$|=1.$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的最大值為 （　　）

• A． 2+$\sqrt{10}$
• B． 2+$\sqrt{7}$
• C． 1+$\sqrt{10}$
• D． 1+$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 如圖所示，設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角∠AOB=θ．根據(jù)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，可得cosθ=$\frac{1}{4}$，sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．則A（2，0），B$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{15}}{2}）$．設C（cosα，sinα），代入（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）展開化簡，利用和差公式、三角函數(shù)的單調性值域即可得出．

解答 解：如圖所示，
設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角∠AOB=θ．
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，
∴2×2cosθ=1，
∴cosθ=$\frac{1}{4}$，sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
則A（2，0），B$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{15}}{2}）$．
設C（cosα，sinα），
則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=（2-cosα，-sinα）•$（\frac{1}{2}-cosα，\frac{\sqrt{15}}{2}-sinα）$
=$（2-cosα）（\frac{1}{2}-cosα）$$-sinα（\frac{\sqrt{15}}{2}-sinα）$
=$2-\frac{5}{2}cosα-\frac{\sqrt{15}}{2}sinα$
=2-$\sqrt{10}$$（\frac{\sqrt{6}}{4}sinα+\frac{\sqrt{10}}{4}cosα）$
=2-$\sqrt{10}$sin（α+φ）≤2+$\sqrt{10}$，當sin（α+φ）=-1時取等號．
故選：A．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質、和差公式、三角函數(shù)的單調性值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題