Question

已知函數(shù)（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，當(dāng)時(shí)，試比較與2的大�。�

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求k的取值范圍，并證明．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由可知，當(dāng)時(shí)，由于，，

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則，

令，，

由于，故，于是在為增函數(shù)，

所以，即在恒成立，

從而在為增函數(shù)，故．

（Ⅲ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，

即方程有兩個(gè)根，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減且．

要使有兩個(gè)根，只需．

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是．

又由上可知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，

由，得，

∴，

由于，故，

所以．