Question

14．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}{sin^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得：f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得最大值．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1-cos2x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（4分）
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，…（6分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π．…（7分）
當(dāng)$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈{Z}$，即$x=\frac{5π}{12}+kπ，k∈{Z}$時(shí)取得最大值為1．…（9分）
（Ⅱ）令 $2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
得 $kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．