Question

【題目】已知等腰梯形，.現(xiàn)將沿著折起，使得面面，點(diǎn)F為線段BC上一動點(diǎn).

（1）證明：；

（2）如果F為BC中點(diǎn)，證明：面；

（3）若二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先通過面面得到面，進(jìn)而可得；

（2）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，得到，進(jìn)而可得面；

（3）以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求出面的法向量和面的法向量，通過二面角的余弦值為列方程求出，即的值．

（1）證明：在等腰梯形中， 所以，

因?yàn)槊?/span>面，面面，面，

所以面，

所以 ；

（2）取中點(diǎn)，連接，

在三角形中， 而，所以，

即四邊形為平行四邊形，，

因?yàn)?/span>面面 所以面；

（3）由面，則以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

　　　　　　　　　　

則，，

設(shè)則，

設(shè)面的法向量，

，即，

因?yàn)?/span>平面,所以是面的法向量，

若二面角的余弦值為，

則，

解得或者，由題意，

即．