Question

【題目】已知數列的前項和為，.

（1）若，求證：，，必可以被分為1組或2組，使得每組所有數的和小于1；

（2）若，求證：， …，，必可以被分為組，使得每組所有數的和小于1.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）先將最大的一個數一組，另兩個一組，利用反證法證明這兩個較小的數的和小于1；

（2）先將其中介于和1之間的單獨分一組，再把小于的數進行拼湊成若干組，保證每組都介于和1之間，最后剩余的分成一組，再分析介于和1之間組數小于等于k即可.

解：（1）不妨設

假設，則

所以

所以與矛盾，因此,

所以必可分成兩組、使得每組所有數的和小于1

（2）不妨設，

先將，，…，單獨分為一組，再對后面項依次合并分組，使得每組和屬于，最后一組和屬于，不妨設將，，…，分為，，…，，，共組，且其中組，，…，，，最后一組

首先必小于等于，否則，與，矛盾

當時，則

所以只需將，，…，分為，，…，，，即可滿足條件；

當時，可將與合成一組，且，否則，矛盾

此時只需將，，…，分為，，…，，，即可滿足條件，

所以，，…，必可以被分為m組(1≤m≤k)，使得每組所有數的和小于1．