Question

16．在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形內(nèi)一點，CD=2，使∠B+∠ADC=180°，問求當∠B為何值時，△ABC和△ADC面積之差最大？（∠B=$\frac{π}{4}$時，面積之差最大）

Answer 1

分析 求出S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×3$sinB=3sinB，再求出AD=-4cosB+3，則可求出兩三角形的面積差表達式為4cosBsinB=2sin2B，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)正弦定理知S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×3$sinB=3sinB
根據(jù)余弦定理可知AC²=13-12cosB
且可知AD²+CD²+2AD•CD•cosB=AC²，
聯(lián)立求出AD=-4cosB+3，
則可求出兩三角形的面積差表達式為4cosBsinB=2sin2B≤2
當且僅當B=45°時，取等號，
所以B=45°時，面積之差最大．

點評 這題主要考查余弦定理，利用已知兩邊和夾角求第三邊與面積，另外還設(shè)計了一元二次方程的求根方法，屬于中檔題．