Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，為橢圓上位于第一象限上的點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，，的面積為6.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)到直線的距離分別是，，試問是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，4

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)離心率為和的面積為6得到關(guān)于方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立直線和橢圓方程得到，再化簡即得.綜合得為定值.

解：（Ⅰ），，.

由，可知為的中點(diǎn)，，

，即，

，即，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：或：，.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，

聯(lián)立方程組，

消去整理得，

直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

，

即，

.

綜合得為定值4.