Question

15．求函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)u=-x²+2x+3，則y=（$\frac{1}{2}$）^u為減函數(shù)，
則函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
函數(shù)u=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
則（$\frac{1}{2}$）^u≥（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，即函數(shù)的值域為[$\frac{1}{16}$，+∞），
u=-x²+2x+3=-（x-1）²+4的對稱軸為x=1，拋物線開口向下，
當(dāng)x≤1時，函數(shù)u=-x²+2x+3為增函數(shù)，則此時函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的單調(diào)遞減，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]，
當(dāng)x≥1時，函數(shù)u=-x²+2x+3為減函數(shù)，則此時函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的單調(diào)遞增，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)定義域，值域，單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．