Question

14．已知數列{a_n}為公差不為0的等差數列，滿足a₁+a₂+a₃=21，且a₁，a₆，a₂₁成等比數列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=a_n（n∈N^*），且b₁=$\frac{1}{3}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公差為d，運用等差數列的通項公式和等比數列中項的性質，列方程，解方程即可得到首項和公差，進而得到所求通項公式；
（2）運用當n≥2時，$\frac{1}{_{n}}$=（$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$）+（$\frac{1}{_{n-1}}$-$\frac{1}{_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{_{2}}$-$\frac{1}{_{1}}$）+$\frac{1}{_{1}}$，結合等差數列的求和公式，化簡可得$\frac{1}{_{n}}$=n（n+2），b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由數列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
由a₁+a₂+a₃=21，且a₁，a₆，a₂₁成等比數列．
可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=21}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+20d）=（{a}_{1}+5d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+3，n∈N*．
（2）由$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=a_n（n∈N^*），
∴$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
當n≥2時，$\frac{1}{_{n}}$=（$\frac{1}{_{n}}$-$\frac{1}{_{n-1}}$）+（$\frac{1}{_{n-1}}$-$\frac{1}{_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{_{2}}$-$\frac{1}{_{1}}$）+$\frac{1}{_{1}}$
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+$\frac{1}{_{1}}$=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=$\frac{1}{2}$（n-1）（2n+6）+3=n（n+2），
對b₁=$\frac{1}{3}$上式也成立，
∴$\frac{1}{_{n}}$=n（n+2），
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴前n項和T_n=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，考查等比數列中項的性質，以及數列的恒等式，數列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．