Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C與橢圓的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點(diǎn)與橢圓E長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的長(zhǎng)軸及離心率，進(jìn)而可得到橢圓C的短軸和離心率，進(jìn)而可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線的斜率不存在，易知直線與橢圓相切，不符合題，從而可知直線的斜率存在，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合，可得，然后將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合，可求得弦長(zhǎng)的最大值.

（1）由題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，

設(shè)橢圓的方程為，則橢圓的短軸長(zhǎng)為，即，離心率為，解得，故橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時(shí)直線與橢圓相切，不滿足題意，故直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，消去得，，

則，整理得，

聯(lián)立，消去得，，

則，整理得，顯然成立，

且，，

則，

整理得，

又因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，即時(shí)，取得最大值 .