在四棱錐
中，側面
底面
，
，底面是直角梯形，
，
，
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）設
為側棱
上一點，
，試確定
的值，使得二面角
為
.
（Ⅰ）以
為原點建立空間直角坐標系
則
，
，所以
，
， 又由
平面
，可得
，所以
平面
.（Ⅱ）
【解析】
試題分析：解法一：
（Ⅰ）平面
底面，
，所以平面，………1分
所以
,
.……2分
如圖，以為原點建立空間直角坐標系.
則
3分
，，
所以，， 4分
又由平面，可得，所以平面. 6分
（Ⅱ）平面的法向量為， 7分
，
，
所以
， 8分
設平面
的法向量為
，，
，
由
，
，得
所以，
， 9分
所以
， 10分
所以
， 11分
注意到，得
. 12分
法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD
面PCD，且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD ①…. .…..……2分
取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，
，在Rt△BCE中，BC=
4分
∵
, ∴BC⊥BD ②5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD. 6分
（Ⅱ）過Q作QF//BC交PB于F，過F作FG⊥BD于G，連結 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG為QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG
∴∠FGQ為二面角Q-BD-P的平面角；由題意，∠FGQ="45°" 8分
設PQ=x，易知
∵FQ//BC，∴
∵FG//PD∴
10分
在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即
∴
… 11分
∵ ∴
∴… 12分
考點：線面垂直及二面角
點評：本題中結合已知條件可知利用空間向量法求解較簡單，要證明線面垂直只需證明直線的方向向量與平面的法向量平行，二面角大小為
只需滿足兩半平面的法向量夾角為
科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省廣州市海珠區(qū)高三入學摸底考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，側面
底面
,
,
為
中點，底面是直角梯形，
,
，
,
．
(1) 求證：
平面
；
(2) 求證：平面
平面
；
(3) 設
為棱上一點，
,試確定
的值使得二面角
為
．
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省“十�！备呷谝淮温�(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
在四棱錐
中，側面
底面
，
，
為
中點，底面是直角梯形，
，
,
,
.
（1）求證：
面
；
（2）求證：面
面
；
（3）設
為棱上一點，
，試確定
的值使得二面角
為
.
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣西省高三高考模擬考試理數(shù) 題型：解答題
（本小題滿分12分）(注意:在試題卷上作答無效)
在四棱錐
中，側面
底面
，
，底面是直角梯形，
，
，
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）設
為側棱
上一點，
，
試確定
的值，使得二面角
為
.
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科目：高中數(shù)學 來源：北京市西城區(qū)2010年高三一模數(shù)學（理）試題 題型：解答題
（本小題滿分14分）
在四棱錐
中，側面
底面
，
，
為
中點，底面是直角梯形，
，
=90°,
，
。
（I）求證：
平面
；
（II）求證：
平面
；
（III）設
為側棱上一點，
，試確定
的值，使得二面角
為45°。
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科目：高中數(shù)學 來源：2010年靖安中學高三高考模擬考試數(shù)學卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）在四棱錐
中，側面
底面
，
，
為
中點，底面是直角梯形，
，
=90°,
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求證：
平面
；
（3）設
為側棱上一點，
，
試確定
的值，使得二面角
為45°.
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