Question

【題目】已知函數(shù)， （為常數(shù)）.

(Ⅰ) 函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；

(Ⅱ) 若， ，且，都有成立，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)求出函數(shù)的圖象在點處的切線方程，再由直線與函數(shù)的圖象相切的關(guān)系，聯(lián)立方程組求出的值；(Ⅱ)依題意不妨設，根據(jù)對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷及的單調(diào)性，可把等價轉(zhuǎn)化為，等價于，再構(gòu)造函數(shù)，即等價于 在區(qū)間上是增函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合不等式恒成立的條件，即可求得實數(shù)的值.

試題解析：（Ⅰ）∵

∴，則

∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，

由得.

由，得.（還可以通過導數(shù)來求）

(Ⅱ)不妨設，

∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

∴，

∵函數(shù)圖象的對稱軸為，且.

∴當時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

∴，

∴，

等價于，

即，

等價于 在區(qū)間上是增函數(shù)，

等價于在區(qū)間上恒成立，

等價于在區(qū)間上恒成立

∴

又∵

∴

點睛: 本題主要考查導數(shù)的應用,包括導數(shù)的幾何意義,導數(shù)與單調(diào)性,屬于中檔題.本題在第2問中注意解題思想:等價轉(zhuǎn)換,將原不等式轉(zhuǎn)化為求在上為增函數(shù),等價于在區(qū)間上恒成立,分離出,轉(zhuǎn)化為求在上的最小值.