Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）

（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出，由，結(jié)合函數(shù)的定義域解得的范圍，就是函數(shù)的增區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為大于等于的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)有最大值，且最大值為，得到；（3）先判斷，得，用放縮法證明，即得要證的不等式.

試題解析：（1）∵，故其定義域?yàn)?/span>，

∴，令，得，令，得.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）∵， ，∴，令

又，令解得.

當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)， ， 變化如下表

	+	0	-

由表知，當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，所以，

（3）由（2）知，∴（）

∴

∴

即

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題（2）是利用方法 ① 求得的最大值.