Question

5．f（x）=|x+a|+|x-a²|，a∈（-1，3）
（1）若a=1，解不等式f（x）≥4
（2）若對(duì)?x∈R，?a∈（-1，3），使得不等式m＜f（x）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，不等式f（x）≥4為|x+1|+|x-1|≥4，分類(lèi)討論解不等式f（x）≥4
（2）對(duì)?x∈R，?a∈（-1，3），使得不等式m＜f（x）成立，?a∈（-1，3），m＜|a+a²|，即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）a=1，不等式f（x）≥4為|x+1|+|x-1|≥4
x＜-1，不等式化為1-x-x-1≥4，解得x≤-2，∴x≤-2；
-1≤x≤1，不等式化為1-x+x+1≥4，無(wú)解；
x＞1，不等式化為x-1+x+1≥4，解得x≥2，∴x≥2，
∴不等式的解集為{x|x≤-2或x≥2}；
（2）∵f（x）=|x+a|+|x-a²|≥|x+a-x+a²|=|a+a²|
對(duì)?x∈R，?a∈（-1，3），使得不等式m＜f（x）成立
∴?a∈（-1，3），m＜|a+a²|
令g（a）=a+a²，a∈（-1，3），則|g（a）|∈[0，12）
∴m＜12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．