Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后分，，討論即可.

（2）要使恒成立，只需恒成立，然后分，，，討論即可.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以.

①當(dāng)，即時(shí)，

令，得或

令，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

所以在R上單調(diào)遞增.

③當(dāng)，即時(shí)，

令，得或

令，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

綜上，當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由（1）可知.

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故在上有極大值

.

當(dāng)時(shí)，，

令，得，

故符合題意.

②當(dāng)，即時(shí)，，

所以在上是增函數(shù)，

則有最大值，

故符合題意.

③當(dāng)，即時(shí)，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故在上有極大值

，

當(dāng)時(shí)，，

令，得，

故符合題意.

④當(dāng)即時(shí)，

令，得，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故在上有最大值.

，

故符合題意.

綜上，a的取值范圍是.