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在四棱錐中，平面，,.

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值；

(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使平面？說明理由.

證明：(Ⅰ)在四棱錐中，因?yàn)?sub>平面，平面,

所以.       因?yàn)?sub>，       所以.

       因?yàn)?sub>,       所以平面.

因?yàn)?sub>平面,所以.             

(Ⅱ) 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.  不妨設(shè)，則.

則.

           所以，.

           設(shè)平面的法向量.

           所以 .即.

           令，則.

           所以 所以

所以與平面所成角的正弦值為.                

(Ⅲ)（法一）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí),平面.

如圖：分別取的中點(diǎn),連結(jié).

     所以,且.     因?yàn)?sub>且，

     所以且.     所以四邊形是平行四邊形.

     所以.     因?yàn)?sub>，    所以三角形是等腰三角形.

    所以.         因?yàn)?sub>平面，        所以.

        因?yàn)?sub>,        所以平面.        所以平面.

           即在線段上存在點(diǎn),使平面.              

   （法二）設(shè)在線段上存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，平面.

           設(shè)，則.所以.

即.所以.

所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.

若平面，則.即.解得.

所以當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，平面.   

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省普通高中招生考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)
求證：（1）直線EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年甘肅省蘭州市高三第一次（3月）診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年貴州省黔東南州高三第一次高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成角的大小．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆黑龍江省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（12分）在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，     AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)

求證：（1）直線EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

 

 

 

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