Question

【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù),其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集,以下命題正確的個數(shù)是( )

下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)f(x)的五個結(jié)論:

①對于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;

②函數(shù)f(x)偶函數(shù);

③函數(shù)f(x)的值域是{0,1};

④若T≠0且T為有理數(shù),則f(x+T)=f(x)對任意的x∈R恒成立;

⑤在f(x)圖象上存在不同的三個點A,B,C,使得△ABC為等邊角形.

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

①分，兩種情況從內(nèi)到外，利用求值判斷.②分，兩種情況，利用奇偶性定義判斷.③當時，；當時，判斷.④分，兩種情況，利用周期函數(shù)的定義判斷.⑤取 ， 判斷.

①當時，，則；當時，，則，所以對于任意的x∈R，都有f(f(x))=1;故正確.

②當時，，；當時，，，所以函數(shù)f(x)偶函數(shù);故正確.

③當時，；當時，，所以函數(shù)f(x)的值域是{0，1};故正確.

④當時，因為T≠0且T為有理數(shù)，所以，則f(x+T)=1=f(x)；當 時，因為T≠0且T為有理數(shù)，所以，則f(x+T)=0=f(x)，所以對任意的x∈R恒成立;故正確.

⑤取 ， 構(gòu)成以為邊長的等邊三角形，故正確.

故選：D