Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，短軸長為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上頂點，點A是橢圓C上異于頂點的任意一點，直線交x軸于點M，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線交x軸于點N．問：在y軸的正半軸上是否存在點Q，使得？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點滿足題意．

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質(zhì)建立方程組求解基本量得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)出點B的坐標(biāo)，寫出直線的方程，求出N點坐標(biāo)，同理求出M點坐標(biāo)，利用直角三角形中正切函數(shù)的定義建立方程，結(jié)合橢圓方程即可求解．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，

由題可知解得．

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

設(shè)，

則直線的方程為．

令，得，即．

因為點B與點A關(guān)于x軸對稱，所以．

則直線的方程為．

令，得，即．

假設(shè)存在點，

使得．

由，

得，即．

因為，

所以．

又，所以．

經(jīng)驗證，當(dāng)時，．

所以在y軸的正半軸上存在點，

使得．