Question

13．若f（x）和g（x）分別是奇函數(shù)與偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，求f（x）和g（x）的解析式．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$①結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可得-f（x）+g（x）=$\frac{1}{-x-1}$②由①②聯(lián)立方程組可求出f（x），g（x）的解析式．

解答 解：∵函數(shù)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，…①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，
∴-f（x）+g（x）=$\frac{1}{-x-1}$，…②
由①②得f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

點評 本題考查的知識點函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造出第二個方程-f（x）+g（x）=$\frac{1}{-x-1}$是解答本題的關(guān)鍵．