Question

7．已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=a，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足S${\;}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，a₁≠0，n≥2．若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 分別令n=2，n=3，及a₁=a，結(jié)合已知可由a表示a₂，a₃，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求a，

解答 解：在S${\;}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，中分別令n=2，n=3，及a₁=a，
得（a+a₂）²=12a₂+a²，（a+a₂+a₃）²=27a₃+（a+a₂）²，
因為a_n≠0，所以a₂=12-2a，a₃=3+2a．
因為數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2a₂，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．
經(jīng)檢驗a=3時，a_n=3n，S_n=$\frac{3n（n+1）}{2}$，S_n-1=$\frac{3n（n-1）}{2}$，
滿足S${\;}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．