Question

11．已知非鈍角三角形ABC中，∠B=60°，邊AB減去BC的長等于AC邊上的高，若sinC與-sinA分別是方程x²-mx+m²-$\frac{3}{4}$=0的兩根，求實數m的值和角A，C的大小．

Answer 1

分析 畫出圖形，利用直角三角形的邊角關系結合已知條件列出方程組，求解即可．

解答 解：設三角形ABC的AC邊上的高為h，由∠B=60°，且三角形是非鈍角三角形，
∴AB=$\frac{h}{sinA}$，BC=$\frac{h}{sinC}$，由題意可得，AB-BC=h，
∴$\frac{h}{sinA}-\frac{h}{sinC}=h$∴sinC-sinA=sinCsinA，
又sinC與-sinA分別是方程x²-mx+m²-$\frac{3}{4}$=0的兩根，
∴sinC-sinA=m，與-sinCsinA=m²-$\frac{3}{4}$，可得$\frac{3}{4}$-m²=m，
解得m=$\frac{1}{2}$，（m=-$\frac{3}{2}$舍去）
sinCsinA=$\frac{1}{2}$，sinA（sinA+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
2sin²A+sinA-1=0，可得sinA=$\frac{1}{2}$，sinA=-1（舍去）．
所以A=30°，C=90°．

點評 本題考查三角形的解法，三角函數與才的關系，考查計算能力．