Question

【題目】

已知函數(shù)的反函數(shù).定義：若對給定的實數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“積性質(zhì)”.

（1） 判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；

（2） 求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；

（3） 設(shè)函數(shù)對任何，滿足“積性質(zhì)”.求的表達式.

Answer 1

【答案】（1）不滿足“1和性質(zhì)”（2）（3）

【解析】

⑴分別求出的反函數(shù)和，然后對照，如果解析式相同，就滿足“1和性質(zhì)”，否則，不滿足；

⑵知道函數(shù)的類型為一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，因為滿足“2和性質(zhì)”，建立方程，求出參數(shù)的值；

⑶設(shè)出函數(shù)圖象上任意一點A，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，A關(guān)于直線y=x對稱的點在其反函數(shù)圖象上，進行計算和代換.

（1）函數(shù)的反函數(shù)是，

，

而，其反函數(shù)為

故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)” …… 4分

(2)設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，.

,…… 6分

而，得反函數(shù)，…… 8分

由“2和性質(zhì)”定義可知對恒成立.

即所求一次函數(shù). ……10分

（3）設(shè)且點圖像上，則在函數(shù)

圖像上，

故可得， ……12分

令，. ……14分

綜上所述，此時其反函數(shù)是，

而故互為反函數(shù). ……16分