Question

【題目】長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，在軸上，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)， 且，的面積為3.

（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線分別與拋物線和橢圓交于，，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

試題（1）根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)為且，的面積為3列方程求出c,即可求橢圓方程，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，分別聯(lián)立橢圓和拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得和，再根據(jù)，聯(lián)立條件即可求出.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓方程為，，，

由題意知，

解得，∴.橢圓的方程為.

∵，∴，代入橢圓的方程得，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入得拋物線方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，，，

由，得，化簡(jiǎn)得.

聯(lián)立直線與拋物線的方程得，

∴.①

聯(lián)立直線與橢圓的方程，

得，

∴.②

∴ ，

整理得：，∴，所以直線的斜率為.