Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)， 的軌跡為曲線.

（1）寫出的普遍方程及參數(shù)方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為， 為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到的距離的最小值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：先把兩條直線的參數(shù)方程化為普通方程，然后利用兩條直線的方程削去參數(shù)k，得出點(diǎn)P的軌跡方程，再把橢圓的直角坐標(biāo)方程改為參數(shù)方程；把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得到直線的方程，利用橢圓的參數(shù)方程巧設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)到直線的距離，利用三角函數(shù)求最值.

試題解析：

（Ⅰ）將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程

，①

，②

①×②消可得： ．

即的軌跡方程為． 的普通方程為．

的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（Ⅱ）由曲線： 得： ，

即曲線的直角坐標(biāo)方程為：

由（Ⅰ）知曲線與直線無公共點(diǎn)，

曲線上的點(diǎn)到直線的距離為

，

所以當(dāng)時(shí)， 的最小值為．