Question

5．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量，其中$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為2，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為2，得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{2\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}{1}=2|\overrightarrow{{e}_{1}}|•|\overrightarrow{{e}_{2}}|cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$+1=2，得出cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{1}{2}$，則答案可求．

解答 解：由題意可得：
$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{2\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}{1}=2|\overrightarrow{{e}_{1}}|•|\overrightarrow{{e}_{2}}|cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$+1=2，
解得cos$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{1}{2}$，
∵$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$∈[0，π]，
∴$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{π}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的基本運(yùn)算，考查單位向量、向量的投影等概念，解題的關(guān)鍵是對(duì)向量投影的理解，是中檔題．