Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線：在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.

【解析】

（1）分類時(shí)，恒成立，時(shí)，分離參數(shù)為，引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可；

（2），導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解．再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得．

解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，

所以，若，為任意實(shí)數(shù)，恒成立.

若，恒成立，

即當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.

，

所以，要使時(shí)，恒成立，的取值范圍為.

（2）由題意，曲線為：.

令，

所以，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，

故在上為增函數(shù)，因此在區(qū)間上的最小值，

所以，

當(dāng)時(shí)，，，

所以，

曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程在上有實(shí)數(shù)解.

而，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

故不存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.