Question

11．南北朝時代的偉大科學(xué)家祖暅提出體積計算原理：“冪勢既同，則積不容異“意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．圖1中陰影部分是由曲線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$、直線x=4以及x軸所圍成的平面圖形Ω，將圖形Ω繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，得幾何體Γ．根據(jù)祖暅原理，從下列陰影部分的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體中選一個求得Γ的體積為32π

Answer 1

分析 由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為|y|，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．

解答 解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，

用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為|y|，所得截面面積 S=π（4²-4|y|），
S₁=π（4²-y²）-π[4-（2-|y|）²]=π（4²-4|y|）
∴S₁=S，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，
∵Γ₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{4π}{3}$×（4³-2³-2³）=$\frac{2π}{3}$×48=32π，
∴Γ=32π．
故答案為：32π．

點評 本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．