Question

已知sinβ=msin（2α+β）（m≠1），求證：tan（α+β）=tanα．

Answer 1

【答案】分析：本題特別注意角的變換，把β化為（α+β）-α，把2α+β化為（α+β）+α，應用兩角和與差的正弦公式展開，移項整理，最后用到弦化切，在等式兩邊同除余弦的乘積，得到結果．
解答：證明：∵sinβ=msin（2α+β），
∴sin[（α+β）-α]=msin[（α+β）+α]．
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=msin（α+β）cosα+mcos（α+β）sinα．
∴（1-m）sin（α+β）cosα
=（1+m）cos（α+β）sinα．
∴tan（α+β）=tanα．
點評：證明三角恒等式的過程，實際是化異為同的過程，一般情況有以下方法：（1）從最復雜的一邊開始化簡，得到簡單的一邊．（2）證左右兩邊等于一個相同的式子．（3）用分析法．本題是條件恒等式的證明，解題時要從已知條件入手，找已知條件和要證結論之間的內在聯(lián)系．