Question

【題目】已知函數(shù)，且在處的切線與平行．

求的單調(diào)區(qū)間；

若存在區(qū)間，使在上的值域是，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由求出a的值，然后將a的值代入導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增得到，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個(gè)解，利用參變量分離法得出在區(qū)間上有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，即可求出b的取值范圍．

由，得，

由，得．

．

則，

由，得，由，得．

的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；

由知，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若存在區(qū)間，使在上的值域是，

則有，則，得，

所以，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩解，

由，得，構(gòu)造函數(shù)，其中，

所以，直線與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，

，

構(gòu)造函數(shù)，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在處取得最小值，即，

由于，，所以，，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

因此，實(shí)數(shù)b的取值范圍是．