Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷是在內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2) ，且為函數(shù)的極小值點(diǎn).

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可；

（2）函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)等價(jià)于方程在內(nèi)存在唯一解，再構(gòu)造函數(shù)，求其值域，則可得的范圍，再利用導(dǎo)數(shù)確定是極大值點(diǎn)或者極小值點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，，，

所求切線的斜率，又.

所以曲線在處的切線方程為：.

（2），

又，則要使得在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，則在存在唯一變號零點(diǎn)，即方程在內(nèi)存在唯一解，即與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn)，

設(shè)函數(shù)，則，在單調(diào)遞減，又；當(dāng)時(shí)，

時(shí)，與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)， ，，則，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，在為增函數(shù)，即為函數(shù)的極小值點(diǎn)，

綜上所述：，且為函數(shù)的極小值點(diǎn).