Question

15．已知z∈C，$\overline{z}$表示z的共軛復(fù)數(shù)，若z•$\overline{z}$-3i$\overline{z}$=$\frac{10}{1+3i}$，求z．

Answer 1

分析 設(shè)z=a+bi，（a，b∈R）則$\overline{z}$=a-bi，代入已知式子由復(fù)數(shù)相等可得ab的方程組，解方程組可得．

解答 解：設(shè)z=a+bi，（a，b∈R）則$\overline{z}$=a-bi，
∵z•$\overline{z}$-3i$\overline{z}$=$\frac{10}{1+3i}$，∴（a+bi）（a-bi）+3i（a-bi）=$\frac{10}{1+3i}$，
∴a²+b²+3ai+3b=$\frac{10（1-3i）}{（1+3i）（1-3i）}$=1-3i，
由復(fù)數(shù)相等的定義可得a²+b²+3b=1且3a=-3，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，即z=-1或z=-1-3i

點評 本題考查復(fù)數(shù)相等，涉及共軛復(fù)數(shù)和方程組的解法，屬基礎(chǔ)題．