Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓.

（1）判斷圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，，且，若的面積為，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）相切，證明見(jiàn)解析 （2）或.

【解析】

（1）利用圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，從而判斷圓與軸相切；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，（），，，根據(jù)可證得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再利用三角形的面積求得的值，即可得答案.

（1）相切，證明如下：設(shè)，圓的半徑為.

則，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，

所以，以為直徑的圓的圓心到軸的距離.

從而，圓與坐標(biāo)軸相切.（證畢）

（2）解：設(shè)直線(xiàn)的方程為，（），，

由（*），

得，，

又由，即，

解得或（舍）.

∴直線(xiàn)的方程為，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

∴，，

∴.

所以，.

回代方程（*），檢驗(yàn).

所以，直線(xiàn)的方程為或.