Question

【題目】若定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意的實數(shù)都成立，則稱是一個“特征函數(shù)”則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）．

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個零點；

④是一個“特征函數(shù)”；．

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：利用新定義“特征函數(shù)”，逐個判斷即可得到答案.

詳解：對于①設(shè)是一個“特征函數(shù)”，則，當時，可以取實數(shù)集，因此不是唯一一個常數(shù)“特征函數(shù)”，故①錯誤；

對于②，∵，∴，即，

∴當時，；時，有唯一解，

∴不存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，

∴不是“特征函數(shù)”，故②正確；

對于③，令得，所以，

若，顯然有實數(shù)根；若，．

又∵的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，∴在上必有實數(shù)根，

因此任意的“特征函數(shù)”必有根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個零點，故③正確；

對于④，假設(shè)是一個“特征函數(shù)”，則對任意實數(shù)成立，則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，故④正確．

綜上所述，結(jié)論正確的是②③④，共個．

故選．