Question

【題目】在數(shù)列{an}中，已知，且2an+1=an+1（n∈N*）．

（1）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；

（2）若bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】（1）見解析;(2) 2-

【解析】

（1）由已知可得，2（an+1-1）=an-1，從而可證明數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；

（2）由（1）可求an，進(jìn)而可求bn，然后利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及錯(cuò)位相減求和方法即可求解．

解：（1）∵2an+1=an+1（n∈N*）．

∴2（an+1-1）=an-1，

∵，

∴a1-1=且an-1≠0，

∴=，

∴數(shù)列{an-1}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

（2）由（1）可得：an-1=，

∴an=

∴bn=nan=n，

∴Tn=（）+（1+2+…+n），

令An=，

∴=…+（n-1）+n，

兩式相減可得，=，

==1-

∴An=2-2×-n=2-

∴Tn=2-