Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，當時，（其中，是自然對數的底數，＝2.71828…）.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若時，方程有實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據函數為定義在上的奇函數，得，由此計算出的值；（Ⅱ）首先根據函數的奇偶性求得當時函數的解析式，然后求導分、討論函數的單調性，并求得函數的極值點，由此求得實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ） 因為是定義在上的奇函數，

由得，即. 4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ），當時，.

當時，，.

由于是奇函數，則，

故當時，.6分

當時，，，

由，知，則當時，單調遞減，

此時，即.8分

當時，，，由，得，

當時，，當時，，則在上單調遞減；在上單調遞增，則在處取得極小值，又，，故當時，.

綜上，當時，，所以實數的取值范圍是.12分